Задача 1. Обработка результатов измерения. Расчет случайной погрешности

Задача на обработку результатов аналитических измерений и оценку случайной погрешности (ошибки) методики является, пожалуй, самой распространенной. Для расчета погрешности определения, как правило, проводят несколько измерений сигнала для одного и того же объекта (параллельные определения). На основании этих данных можно оценить ошибку определения.

Исходные данные:
Выборка случайных значений.

Алгоритм расчета:

- Провести проверку на присутствие в выборке грубых ошибок - промахов. Обычно для этой цели применяют Q-критерий. Примечание: Если объем выборки достаточно велик (30 или более значений), можно провести проверку на подчинение результатов закону нормального распределения - по критерию Пирсена.
- Рассчитать среднее значение
- Рассчитать дисперсию и стандартное отклонение
- Оценить доверительный интервал по критерию Стьюдента

Пример:

В результате определения содержания алюминия в сплаве получены следующие значения (в % масс): 7.48, 7.49, 7.58, 7.47, 7.50. Нужно рассчитать среднее и доверительный интервал.

Решение:

Сначала проверяем на промах крайние значения. Наибольшее значение - 7.58. По Q-критерию:
Q = (7.58 - 7.50) / (7.58 - 7.47) = 0.727. Оно больше табличного критического значения Q_критич(n = 5) = 0.64. Вывод - значение 7.58 является промахом, отбрасываем его. Убеждаемся, что остальные значения не являются промахами.
Рассчитываем среднее: = (7.48 + 7.49 + 7.47 + 7.50) / 4 = 7.485
и дисперсию: V(x) = ((7.48 - 7.485)² + (7.49 - 7.485)² + (7.47 - 7.485)² + (7.50- 7.485)²)/(4-1) = 0.000167.
Число степеней свободы нашей дисперсии на единицу меньше числа значений: f = 4 - 1 = 3.
Стандартное отклонение вычисляем, извлекая квадратный корень из дисперсии: S = 0.01291
Рассчитываем доверительный интервал, используя табличное значение критерия Стьюдента (t-критерия)
t(f = 3, p = 0.95) = 3.18, = 3.18 * 0.01291 / 2 = 0.205269.
Округляем доверительный интервал до одной значащей цифры: = 0.2, и до этого же знака округляем среднее: = 7.5

Ответ: 7.5 0.2

Формулы, использованные в расчетах, см. Лекцию 2 и Лекцию 3