Решение неравенств методом интервалов
Метод интервалов - наиболее удобный метод решения любых неравенств. Таким методом решаются неравенства высших степеней, начиная с квадратных неравенств, кубических неравенств и т.д. Линейные неравенства (в которых переменная (x) находится в первой степени) и без метода интервалов решаются просто.
Итак, в чем состоит суть решения неравенств методом интервалов? Если есть неравенство вида f(x)>0 или f(x)<0 (а также ⩾ или ⩽), где f(x) - какая-то функция (квадратичная, дробно-рациональная и т.п.), то если на каком-то отрезке она непрерывна и не обращается в ноль, то она сохраняет свой знак на этом промежутке. Поэтому если нанести на числовую ось x сначала область определения функции (точки разрыва и промежутки, где функция существует), а затем нули функции (т.е. решения уравнения f(x) = 0) и рассмотреть каждый из получившихся промежутков, то можно заметить, что на таких промежутках сохраняется знак. Поэтому, зная это, если подставить какое-нибудь число из любого выбранного промежутка в функцию и узнать какого она получится знака, то можно с уверенностью сказать, какой знак будет у всего промежутка.
Вследствие этого, для решения неравенств вида f(x)>0 или f(x)<0 (а также ⩾ или ⩽) находят нули функции f(x) и область определения функции, наносят все это на числовую прямую x, тем самым разбивают числовую прямую на промежутки и находят знаки на каждом из них указанным выше способом (подставляют какое-нибудь удобное значение из каждого промежутка), а затем выбирают те промежутки, на которых есть нужный нам знак: если у нас неравенство f(x)>0 (f(x)⩾0), то выбирают все промежутки со знаком "+", а если неравенство вида f(x)<0 (f(x)⩽0), то выбирают все промежутки со знаком "-". Затем все выбранные промежутки объединяются в ответ.
Нужно также заметить, что крайние точки иногда включают, а иногда нет. Если знак неравенства строгий (> или <), то крайние точки не включают, а если знак неравенства не строгий, то смотрят, принадлежит ли эта крайняя точка области определения: если принадлежит, то точку включают, если нет - не влючают.
Чтобы не ошибиться при решении неравенств, нужно себя проверять. Многие рекомендуют сайт для проверки правильности решения неравенств: решение неравенств.
Рассмотрим несколько примеров:
1) решить неравенство методом интервалов:
x3 - 2x2 + 5x > 10
Приведем неравенство к стандартному виду f(x)>0
x3 - 2x2 + 5x - 10 > 0
Область определения у f(x) = x3 - 2x2 + 5x - 10 любое число, т.е. D(f) = ( -∞; +∞);
Найдем нули этой функции: для этого разложим выражение x3 - 2x2 + 5x - 10 на множители
x2 - 2x2 + 5x - 10 = x2(x - 2) + 5(x - 2) = (x-2)(x2+5).
Отсюда видно, что у f(x) только 1 нуль функции: x = 2
Тогда наша числовая прямая будет выглядеть так:
− +
---------------------------o------------------------>x
2
Точка 2 выколота, т.к. знак неравенства > строгий, и ее в ответ мы включать не будем.
Для проверки знаков на промежутках подставляем в функцию, например, 0 и 3. Получаем, что f(0)<0, f(3)>0.
Т.к. у нас неравенство вида f(x)>0, то нам нужны все промежутки со знаком "+". Такой промежуток всего один: (2; +∞). Он и будет ответом.
Ответ: (2; +∞)
2) решить неравенство методом интервалов:
x4 - 4x2 + 5x3 ⩽ 20x
Приведем неравенство к стандартному виду f(x)⩽0
x4 + 5x3 - 4x2 - 20x ⩽ 0
Область определения у f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 - 20x любое число, т.е. D(f) = ( -∞; +∞);
Найдем нули этой функции: для этого разложим выражение x4 + 5x3 - 4x2 - 20x на множители
x4 + 5x3 - 4x2 - 20x = x(x3+5x2-4x-20) = x(x2(x+5) - 4(x+5)) = x(x+5)(x2-4) = x(x-2)(x+2)(x+5)
Отсюда видно, что у f(x) 4 нуля функции: x = 0, x = -5, x = -2, x = 2
Тогда наша числовая прямая будет выглядеть так:
+ − + − +
--------•----------•----------•-----------•-------------->x
-5 -2 0 2
Все крайние точки включаются (они не выколотые), т.к. знак неравенства ⩽ нестрогий, и их в ответ мы включим.
Для проверки знаков на промежутках подставляем в функцию, например, -6, -3, -1, 1, 3. Получаем, что f(-6)>0, f(-3)<0, f(-1)>0, f(1)<0, f(-3)>0.
Т.к. у нас неравенство вида f(x)⩽0, то нам нужны все промежутки со знаком "-". Таких промежутков 2: [-5; -2] и [0; 2]. Их объединение и будет ответом.
Ответ: [-5; -2] ∪ [0; 2]
Дата: 17 ноября 2014
