Задача 3. Сравнение двух средних. Объединение выборок

Этот тип задач возникает при сравнении результатов, полученых в различных условиях или по различным методикам.

Исходные данные:

Две выборки случайных значений (или два средних и две дисперсии)

Алгоритм расчета:

- Рассчитать и сравнить две дисперсии по критерию Фишера
- Объединить две дисперсии
- Сравнить средние по критерию Стьюдента

Пример 1:

Два лаборанта проводили определение меди в воде методом йодометрического титрования. Было выполнено по 3 параллельных определения. Первый лаборант получил среднее значение 20.0 мг/л, дисперсия составила 0.01, второй лаборант - 20.3 мг/л, дисперсия составила 0.03. Можно ли объединить результаты лаборантов в одну выборку?

Решение:

Сравниваем две дисперсии, и убеждаемся, что различие между ними незначимо. Рассчитываем объединенную дисперсию: = (0.01*2 + 0.03*2)/4 = 0.02. Теперь сравниваем два средних: рассчитываем тестовую статистику . Тестовая статистика меньше табличного значения критерия Стьюдента t(p=0.95, f=4) = 2.776; вывод: выборки можно объединить. Объединенная выборка имеет следующие параметры: среднее 20.15, дисперсия 0.02, число степеней свободы 4

Пример 2:

Для определения фенола в сточных водах разработана новая методика, отностительное стандартное отклонение которой 0.02 для 5 параллельных определений. Относительное стандартное отклонение гостированной методики 0.03. Можно ли рекомендовать применять новую методику вместо общепринятой?

Решение:

Вычисляем отношение дисперсий: F = 0.03² / 0.02² = 2.25. Это меньше табличного значения F(p=0.05, f₁=, f₂=4) = 5.63, дисперсии отличаются незначимо (обратите внимание, что для стандартной методики принимается число степеней свободы, равное бесконечности). Для того, чтобы отличие было значимым, необходимо выполнить 13 параллельных определений: F(p=0.05, f₁=, f₂=12) = 2.2, это плохая методика. Вывод: нет причин переходить на новую методику.

Формулы, использованные в расчетах, см. Лекцию 4.