Лекция 16. Основы математического планирования эксперимента

Планирование эксперимента - раздел математической статистики, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам.

Под экспериментом здесь подразумевается следующее:

Эксперимент - изучение зависимости целевой функции (или функции отклика) y от нескольких факторов x1 ... xn

Цели планирования эксперимента:

1. Теоретические: изучение характера зависимости, степень влияния различных факторов на целевую функцию, предсказание значения целевой функции при определенных значениях факторов.

2. Практические: поиск оптимальных условий (набора значений факторов), при которых целевая функция достигает экстремума (минимума или максимума). Например: поиск условий измерения, чтобы погрешность была минимальна. Или: оптимизация условий хроматографического разделения для достижения максимального разрешения пиков.

Разберем подходы к планированию эксперимента на примере поиска оптимальных условий измерения в атомно-абсорбционном методе. В качестве целевой функции возьмем оптическую плотность (y), а в качестве факторов - температуру атомизатора (x1) и концентрацию модификатора матрицы (x2). Будем искать условия (значения факторов) при которых оптическая плотность достигает максимума.

Общий вид зависимости целевой функции от параметров x1 и x2 приведен на рисунке:

зависимость целевой функции от параметров

Как видно из рисунка, обе зависимости имеют максимум, а не возрастают монотонно. Поэтому важна задача оптимизации.

Зависимость целевой функции одновременно от двух факторов можно изобразить в виде "контурной карты" (это вид сверху на трехмерную поверхность отклика, описывающую функцию y):

поверхность отклика

Отметим, что в данном случае наблюдается совместное влияние факторов x1 и x2 (т.е. корреляция между факторами). Поэтому традиционный эксперимент (когда варьируют один параметр, ищут максимум, затем варьируют другой параметр и также ищут максимум) не подходит - максимум таким образом не найти (или придется много раз по очереди варьировать параметры). Вот к чему приведет традиционный эксперимент (красной точкой отмечен ошибочно найденный максимум функции отклика):

традиционный эксперимент

Вывод: необходимо варьировать одновременно все факторы, и двигаться в направлении возрастания функции:

планируемый эксперимент

Для решения задачи поиска максимума (минимума) функции отклика существует метод факторного планирования эксперимента, который позволяет получить максимально точное решение за минимальное количество измерений.

лекции читает А.В.Гармаш, химический факультет МГУ

Большое

Большое спасибо за этот сайт! Не знаю, как математикам, но специалистам далеким от этой очень заумной науки (например, химикам, которым требуется математическая обработка результатов анализа)этот сайт как раз то, что нужно!

Дата: 20 сентября 2013



 

Добавить комментарий

Имя

E-mail

Комментарий

Контрольный вопрос:
Сколько будет: 13+18-9